25、线性代数基础：向量、矩阵与特殊矩阵类型解析

线性代数基础：向量、矩阵与特殊矩阵类型解析

线性代数作为数学的一个重要分支，在众多领域都有着广泛的应用。从机器学习到物理学，从计算机图形学到工程学，线性代数的概念和方法无处不在。本文将深入探讨线性代数中的一些基本概念，包括向量空间、矩阵的性质以及特殊类型的矩阵。

1. 向量空间基础

1.1 向量加法和缩放

向量可以被看作是 $n$ 维欧几里得空间中的一个点。向量空间是由这些向量组成的集合，这些向量可以进行加法和数乘运算，以创建新的点。这些运算按元素进行定义，即对于向量 $x$ 和 $y$，$x + y = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)$；对于标量 $c$，$cx = (cx_1, \ldots, cx_n)$。

1.2 线性独立性、张成空间和基集

线性独立性 ：一组向量 ${x_1, x_2, \ldots, x_n}$ 被称为线性独立，如果没有向量可以表示为其余向量的线性组合。反之，如果一个向量可以表示为其余向量的线性组合，则称该向量线性相关。例如，如果 $x_n = \sum_{i=1}^{n - 1} \alpha_i x_i$，则 $x_n$ 依赖于 ${x_1, \ldots, x_{n - 1}}$；否则，它是独立的。

张成空间 ：一组向量 ${x_1, x_2, \ldots, x_n}$ 的张成空间是所有可以表示为这些向量线性组合的向量的集合，即 $\text{span}({x_1, \ldots, x_n}) \triangleq {v : v = \sum_{i = 1