最小公倍数一些性质定理及证明
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写在前面预备定义主要定理
★
\bigstar
★
[
a
,
b
]
×
(
a
,
b
)
=
a
b
[a,b]\times(a,b)=ab
[a,b]×(a,b)=ab推广
★
\bigstar
★
a
∣
t
,
b
∣
t
⟹
[
a
,
b
]
∣
t
a\,|\,t,b\,|\,t\Longrightarrow\,[a,\,b]\,|\,t
a∣t,b∣t⟹[a,b]∣t推广
写在前面
最近在学习抽象代数，里面的一些定理的证明需要很多初等数论的知识，而本人没上过数论，就只能自学了。下面总结一些置换群的相关定理证明时候需要的数论内容，主要涉及最小公倍数、最大公因数等概念的重要性质。关于整数互素的概念与性质定理我在前面的文章中总结过，有兴趣的朋友可以看下面的两篇文章：
与素数有关的一些性质及证明（一）;素数的有关性质（二）欧拉函数的一些定理证明与计算;
预备定义
公倍数：两个或多个整数的公有的倍数，称为它们的公倍数。最小公倍数(Least Common Multiple, lcm)：除
0
0
0以外最小的一个公倍数，叫做这几个整数的最小公倍数，通常记为
[
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
]
[a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n]
[a1,a2,⋯,an]。公因数：两个或多个整数的公有的因数，称为它们的公因数。最大公因数(Greatest Common Divisor, gcd)：几个数的任意一个公因数都能整除
d
d
d，那么称
d
d
d是这几个数的最大公因数，通常记为
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
(a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n)
(a1,a2,⋯,an)。
主要定理
下面总结一下关于最小公倍数的两个定理。
★
\bigstar
★
[
a
,
b
]
×
(
a
,
b
)
=
a
b
[a,b]\times(a,b)=ab
[a,b]×(a,b)=ab
证明：
设由于
a
b
ab
ab是
a
,
b
a,\,b
a,b的公倍数，而
[
a
,
b
]
[a,\,b]
[a,b]是
a
,
b
a,\,b
a,b的最小公倍数，所以
[
a
,
b
]
∣
a
b
[a,\,b]\,\big|\,ab
[a,b]
ab，所以
∃
q
∈
Z
\exists\ q\in\mathbb{Z}
∃ q∈Z，使得
a
b
=
q
[
a
,
b
]
ab=q[a,\,b]
ab=q[a,b]，下面需要证
q
q
q是
a
,
b
a,\,b
a,b的最大公因数，为此需要证
q
q
q满足以下两个条件：
q
q
q是
a
,
b
a,\,b
a,b的公因数；对
a
,
b
a,\,b
a,b的任一公因数
c
c
c，有
c
∣
q
c\,|\,q
c∣q；
对条件一，因为
a
b
=
q
[
a
,
b
]
ab=q[a,\,b]
ab=q[a,b]，所以
a
=
[
a
,
b
]
b
⋅
q
,
b
=
[
a
,
b
]
a
⋅
q
{a}=\dfrac{[a,\,b]}{b}\cdot q,\ \ {b}=\dfrac{[a,\,b]}{a}\cdot q
a=b[a,b]⋅q, b=a[a,b]⋅q，而显然
a
∣
[
a
,
b
]
,
b
∣
[
a
,
b
]
a\,\big|\,[a,\,b],\ b\,\big|\,[a,\,b]
a
[a,b], b
[a,b]，于是有：
q
∣
a
,
q
∣
b
q\,|\,a,\ q\,|\,b
q∣a, q∣b，这就得到
q
q
q是
a
,
b
a,\,b
a,b的公因数。
对条件二，由于
c
∣
a
,
c
∣
b
c\,|\,a,\ c\,|\,b
c∣a, c∣b，所以
a
c
,
b
c
\dfrac{a}{c},\,\dfrac{b}{c}
ca,cb均为整数。设
t
=
a
b
c
=
a
(
b
c
)
=
b
(
a
c
)
,
t=\frac{ab}c=a\left(\frac bc\right)=b\left(\frac ac\right),
t=cab=a(cb)=b(ca), 由此得到
t
t
t是
a
,
b
a,\,b
a,b的公倍数，于是
[
a
,
b
]
∣
t
[a,\,b]\,\big|\,t
[a,b]
t，根据上式
a
b
=
q
[
a
,
b
]
ab=q[a,\,b]
ab=q[a,b]，有
t
[
a
,
b
]
=
a
b
c
a
b
q
=
q
c
,
\frac{t}{[a,\,b]}=\dfrac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{q}}=\frac{q}{c},
[a,b]t=qabcab=cq, 即得到
q
c
\dfrac qc
cq为整数，即
c
∣
q
c\,|\,q
c∣q。
综上，可得到
[
a
,
b
]
×
(
a
,
b
)
=
a
b
[a,b]\times(a,b)=ab
[a,b]×(a,b)=ab。
推广
类似地，可以将结论推广到更加一般的情况，即
[
a
1
,
⋯
,
a
n
]
×
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
=
∏
i
=
1
n
a
i
.
[a_1,\,\cdots,\,a_n]\times(a_1,\,\cdots,\,a_n)=\prod_{i=1}^na_i.
[a1,⋯,an]×(a1,⋯,an)=i=1∏nai.
★
\bigstar
★
a
∣
t
,
b
∣
t
⟹
[
a
,
b
]
∣
t
a\,|\,t,b\,|\,t\Longrightarrow\,[a,\,b]\,|\,t
a∣t,b∣t⟹[a,b]∣t
证明：
要证明整除关系，自然想到应用带余除法，只需要证明余数为
0
0
0即可。
设
t
=
[
a
,
b
]
×
q
+
r
,
q
∈
Z
,
0
⩽
r
<
[
a
,
b
]
,
t=[a,b]\times q+r,\quad q\in\mathbb{Z},\ 0\leqslant r<[a,\,b],
t=[a,b]×q+r,q∈Z, 0⩽r<[a,b], 则由于
a
∣
[
a
,
b
]
,
a
∣
t
a\,|\,[a,\,b],\,a\,|\,t
a∣[a,b],a∣t，根据《与素数有关的一些性质及证明（一）》中关于整除的性质："除数整除被除数的倍数和"得到：
a
∣
t
+
(
−
q
)
×
[
a
,
b
]
⟹
a
∣
r
a\,\big|\,t+(-q)\times[a,\,b]\Longrightarrow a\,|\,r
a
t+(−q)×[a,b]⟹a∣r，同理可得
b
∣
r
b\,|\,r
b∣r，因此得到
r
r
r是
a
,
b
a,\,b
a,b的公倍数，但是根据带余除法的条件：
0
⩽
r
<
[
a
,
b
]
0\leqslant r<[a,\,b]
0⩽r<[a,b]，
r
r
r小于
a
,
b
a,\,b
a,b的最小公倍数，所以
r
r
r只能取
0
0
0，这就证明了
[
a
,
b
]
∣
t
[a,\,b]\,|\,t
[a,b]∣t。
P.S. 这个定理的证明有很多种方法，这里仅介绍常见的一种，也可以从唯一素因子分解定理出发进行证明，其步骤比较直观，在此不详述。
推广
根据定理的证明，很容易将其推广到任意整数的情形，即
a
i
∣
t
,
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
⟹
[
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
]
∣
t
.
a_i\,|\,t,\,(i=1,\,2,\,\cdots,\,n)\Longrightarrow\,[a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_n]\,|\,t.
ai∣t,(i=1,2,⋯,n)⟹[a1,a2,⋯,an]∣t.